পাই কেন অমূলদ সংখ্যা

চারপাশ বেগুনি রঙের গাছে ভরা। গাছগুলো খুব বেশি বড় নয়। পৃথিবীর মরিচগাছের মতো আকৃতি। দেখতে ভারি সুন্দর। ওখানেই যেতে চায় বান্টি। কিন্তু এই মূহূর্তে সে একটি নভোযানের মধ্যে আটকা। কীভাবে এখানে এল, মনে করতে পারছে না। কেউ কি তাকে এখানে আটকে রেখেছে? কোনো এলিয়েনের কাজ এটা? এতসব ভাবার সময় নেই। এখান থেকে বের হতে হবে। বের হতে হলে দরজটা খুলতে হবে। সে জন্য লাগবে একটা পাসওয়ার্ড। কিন্তু বান্টি কোনো পাসওয়ার্ড জানে না। তবে বান্টির চোখের সামনের স্ক্রিনে একটা ছোট্ট ক্লু দেওয়া আছে:

Visit asg-reflektory.pl for more information.

‘যেকোনো নিখুঁত গোল চাকার চারপাশের সীমানাকে তার মাঝখানের দূরত্ব দিয়ে ভাগ করো। যে সংখ্যাটি পাবে, ঠিক সেটাই বের হওয়ার পাসওয়ার্ড!’

বান্টি তো মহাখুশি! ভাবল, এ তো স্কুলের জ্যামিতি বইয়ের সোজা অঙ্ক! বান্টি খট খট করে টাইপ করলে ২২/৭।

হঠাৎ... ভ্যাঁপ ভ্যাঁপ শব্দ করে বিকট অ্যালার্ম বেজে উঠল! লাল বাতি জ্বলছে! স্ক্রিনে লেখা-‘ভুল পাসওয়ার্ড!’

বান্টি একটু ঘাবড়ে গিয়ে ভাবল, আচ্ছা, তাহলে ৩.১৪ বসাতে হবে। সংখ্যাটা বসাতেই আবারও অ্যালার্ম বেজে উঠল! এবারও একই কথা লেখা-‘ভুল পাসওয়ার্ড!’

বান্টি ভাবল, আচ্ছা, তাহলে আরেকটু বড় নাম্বার দিতে হবে। সে মোটামুটি নিশ্চিত, এখানে পাইয়ের মান বসবে। কারণ, ক্লুতে সে রকমই ইঙ্গিত দেওয়া আছে। সে টাইপ করতে শুরু করল ৩.১৪১৫৯...।

কিন্তু একি! সংখ্যা তো আর শেষ হয় না! বান্টি এক দশমিকের পর ১০ ঘর, ২০ ঘর, ৩০ ঘর পর্যন্ত লিখল, লিখেই চলল, কিন্তু পাসওয়ার্ডের কোনো শেষ নেই! সংখ্যাগুলোর মধ্যে কোনো প্যাটার্নও নেই। পাগলের মতো এলোমেলোভাবে সংখ্যা লিখছে বান্টি, কিন্তু কোনো কাজ হলো না!

আসলে শেষ হওয়ার কথাও নয়। কারণ, পাইয়ের মান কখনো শেষ হওয়ার নয়। মানগুলোর মধ্যে কোনো মিলও নেই। তাই পাই সংখ্যাটা অনেকের কাছে জাদুকরি, আবার অনেকের কাছে অবাধ্য, ঘাড়ত্যাড়া সংখ্যা। এটি এমন এক সংখ্যা, যা লিখে কোনো দিন শেষ করতে পারবে না।

প্রশ্ন হলো, কেন এই সংখ্যা লিখে শেষ করা যাবে না? কেন এর সংখ্যাগুলোর মধ্যে কোনো মিল নেই? কেন পাইকে অমূলদ সংখ্যা বলা হয়? চলো একটু গোয়েন্দাগিরি করা যাক!

সূর্যের বেশি কাছে বুধ, তবু শুক্র কেন বেশি গরমবিশ্ব পাই দিবস উপলক্ষে বৃহত্তম মানব পাই তৈরি করেছে ময়মনসিংহ জিলা স্কুলের শিক্ষার্থীরা। ছবিটি ২০২০ সালের ১৪ মার্চ দুপুরে ময়মনসিংহ জিলা স্কুল মাঠে।

পাই কী

প্রথমেই বলি, পাই জিনিসটা কী। খুব সহজ ভাষায় বললে, যেকোনো বৃত্তের চারপাশের সীমানাকে যদি তার মাঝখানের সবচেয়ে বড় দূরত্ব দিয়ে ভাগ করি, তাহলে যে সংখ্যাটা পাওয়া যাবে, সেটাই হলো পাই। বান্টির ক্লু হিসেবে এটাই নভোযানে লেখা ছিল। মানে অঙ্কের ভাষায়, বৃত্তের পরিধিকে ব্যাস দিয়ে ভাগ করলে যে সংখ্যা পাওয়া যাবে, সেটা পাই। নিচের ছবিটা দেখলে আরও ভালো বুঝতে পারবে।

আরেকটু ব্যাখ্যা করি, তাহলে বুঝতে আরও সহজ হবে। ধরো, তোমার কাছে একটা সাইকেলের চাকা আছে। তুমি একটা লম্বা সুতা নিলে। সুতাটা দিয়ে চাকার বাইরের দিকটা একবার পুরো গোল করে মেপে নিলে। ধরো, সুতাটির দৈর্ঘ্য হলো ৩১.৪ সেন্টিমিটার। এটাই হলো চাকার পরিধি।

এবার ওই চাকাটার ঠিক মাঝখান দিয়ে এপাশ থেকে ওপাশ পর্যন্ত দূরত্ব মাপলে পাওয়া গেল ১০ সেন্টিমিটার। এটিই হলো চাকার ব্যাস। এখন মজার ব্যাপারটা দেখো। চাকার পরিধিকে ব্যাস দিয়ে ভাগ করলে পাওয়া যায় পাই। চলো প্রমাণ করে দেখা যাক।

৩১.৪ ÷ ১০ = ৩.১৪

অর্থাৎ পরিধি যতই বড় বা ছোট হোক, সেটাকে ব্যাস দিয়ে ভাগ করলে প্রায় ৩.১৪ পাওয়া যাবে। এই বিশেষ সংখ্যাটিই হলো পাই (π)। খুব সহজ ও নিরীহ মনে হচ্ছে, পাইকে? কিন্তু গন্ডগোলটা বাধল এ ভাগফলটার মান বের করতে গিয়ে।

২২/৭ কি সত্যিই পাই

স্কুলে যখন তোমরা বৃত্তের ক্ষেত্রফল বা পরিধির অঙ্ক করো, তখন স্যাররা নিশ্চয়ই শিখিয়েছেন, পাইয়ের মান মানে ২২-কে ৭ দিয়ে ভাগ দিলে যা হবে, তা–ই। আমাকে তো স্কুলে এভাবে শিখিয়েছে। তোমরাও হয়তো খাতায় ২২/৭ বসিয়ে সুন্দর করে কাটাকাটি করে অঙ্কের উত্তর মিলিয়ে দাও।

কিন্তু আজ তোমাদের একটা গোপন কথা বলি। ২২/৭ মোটেও পাই নয়! এটা গণিতের দুনিয়ার একটা বিশাল ধোঁকাবাজি, বা বলতে পারো একটা শর্টকাট! ভেবে দেখো তো, মুভিতে যখন নায়ক উঁচু কোনো ছাদ থেকে লাফ দেয় বা আগুনের ভেতর দিয়ে দৌড়ে যায়, তখন কি সত্যিই নায়ক সে কাজটা করে? না! তার বদলে একজন স্টান্ট ডাবল বা নকল নায়ক সেই ঝুঁকিপূর্ণ কাজটা করে। আসলে নায়ক এই কাজে পারদর্শী নয়, কিন্তু স্ট্যান্ট ম্যান পারদর্শী। তাই এই কাজটি সে-ই করে। আমাদের পাই হলো এখানে সেই স্টান্ট ম্যান!

কেন এমন বলছি? কারণ, ২২-কে ৭ দিয়ে ভাগ করলে উত্তর আসে ৩.১৪২৮৫৭১৪২৮৫৭…। দেখো, দশমিকের পর ১৪২৮৫৭ সংখ্যাগুলো বারবার ফিরে আসছে। কিন্তু আসল পাইয়ের মান যদি তুমি হিসাব করো, তা শুরু হয় ৩. ১৪১৫৯২৬৫৩৫...দিয়ে।

প্রথম দুটো ঘর, মানে ৩.১৪ মিলে যায় বলে আমাদের দৈনন্দিন জীবনের ছোটখাটো হিসাব-নিকাশে ২২/৭ ব্যবহার করলে খুব একটা ভুল হয় না। তোমার খাতার বৃত্তের অঙ্ক হয়তো ২২/৭ দিয়ে মিলে যাবে, কিন্তু তুমি যদি নাসার বিজ্ঞানী হও এবং ভবিষ্যতে কোনোদিন মঙ্গলে রকেট পাঠাতে চাও, তখন ২২/৭ ব্যবহার করলে তোমার রকেট মঙ্গল গ্রহে না নেমে হয়তো মহাশূন্যে হারিয়ে যাবে! কারণ ২২/৭ আসল পাই নয়, এটা শুধুই কাছাকাছি একটা রূপ। আসল পাইকে কোনো ভগ্নাংশ দিয়ে প্রকাশ করা একেবারেই অসম্ভব। এ কারণেই পাই অমূলদ!

চলো, বিষয়টা আরও ভেঙে বলি।

বিটিএসের প্রতিবাদ, গ্র্যামি বয়কটের ঘোষণা

মূলদ বনাম অমূলদ

আগের একটি লেখায় তোমাদের মূলদ এবং অমূলদ সংখ্যার গল্প শুনিয়েছিলাম। চাইলে এই লেখা (গণিতের সব সমীকরণ যেভাবে সমাধান করা যায়) থেকে পড়তে পারো। এখন চলো, মূলদ ও অমূলদ সংখ্যা একটু ঝালিয়ে নিই।

মূলদ সংখ্যা হলো সেই সব ভদ্র-নম্র সংখ্যা, যাদের তুমি দুটি পূর্ণসংখ্যার ভগ্নাংশ হিসেবে লিখতে পারো। যেমন: ১/২, ৩/৪ কিংবা ৫/৮। এদের হিসাব খুব পরিষ্কার। যেমন ধরো, তোমার কাছে আস্ত একটা তরমুজ আছে। তুমি সেটাকে সমান ৪ টুকরা করলে আর সেখান থেকে ৩ টুকরা বন্ধুদের খাইয়ে দিলে। তুমি অনায়াসেই বলতে পারবে, তরমুজের ৩/৪ অংশ খাওয়া হয়েছে।

মূলদ সংখ্যাগুলোকে দশমিক আকারে লিখলেও এরা খুব ভদ্র আচরণ করে। হয় এরা একটা জায়গায় গিয়ে শেষ হয়ে যায়, আর না হয় একটা নির্দিষ্ট ছন্দ মেনে চলতে থাকে। যেমন, ৩/৪ = ০.৭৫, এখানে শেষ হয়ে গেছে। কিন্তু ১/৩ = ০.৩৩৩৩৩…; এখানে ৩ কখনো শেষ হবে না।

কিন্তু অমূলদ সংখ্যাগুলো হলো একদম বুনো ঘোড়ার মতো! এদের কোনোভাবেই দুটি পূর্ণসংখ্যার ভগ্নাংশ আকারে লেখা যায় না। এদের দশমিকে প্রকাশ করলে এরা কখনো শেষ হয় না, আবার কখনো নিজেদের পুনরাবৃত্তিও করে না। দশমিকের পর সংখ্যাগুলো একদম পাগলের মতো এলোমেলোভাবে আসতেই থাকে, আসতেই থাকে!

পাই হলো এই অমূলদ সংখ্যার সবচেয়ে বড় লিডার!

বৃত্তের পরিধি ও ব্যাস কেন ভগ্নাংশে ধরা দেয় না

তোমার মনে প্রশ্ন আসতে পারে, পরিধি তো একটা মাপা যায়। ব্যাসও তাই। দুটোই তো আমাদের চোখের সামনে থাকা বাস্তব জিনিস। তাহলে এদের ভাগফলটা কেন একটা সুন্দর ভগ্নাংশ হতে পারে না? কেন তারা মিলেমিশে একটা ভদ্র মূলদ সংখ্যা তৈরি করে না?

এখানেই লুকিয়ে আছে জ্যামিতির সবচেয়ে বড় রহস্য। তুমি যদি বৃত্তের ব্যাসকে এমনভাবে আঁকো যে সেটা একটা নিখুঁত পূর্ণসংখ্যা হবে (ধরো, ঠিক ৭ সেন্টিমিটার), তাহলে প্রকৃতি তার জাদুবলে বৃত্তের পরিধিটাকে এমন একটা অদ্ভুত দৈর্ঘ্য বানিয়ে দেবে, যা তুমি স্কেল দিয়ে মেপে কখনো পূর্ণসংখ্যায় বা সুন্দর ভগ্নাংশে মেলাতে পারবে না।

আবার তুমি যদি জোর করে পরিধিটাকে একটা নিখুঁত পূর্ণসংখ্যা বানাও (ধরো, ঠিক ২২ সেন্টিমিটার একটা তার বাঁকিয়ে বৃত্ত বানালে), তখন দেখবে ওই বৃত্তের ব্যাসটা আর পূর্ণসংখ্যা থাকছে না!

অর্থাৎ পরিধি ও ব্যাস কখনোই একই সঙ্গে পূর্ণসংখ্যা হতে পারে না। আমাদের আগের উদাহরণই খেয়াল করো। আমাদের বৃত্তের পরিধি ছিল ৩১.৪ সেন্টিমিটার এবং ব্যাস ১০ সেন্টিমিটার। অর্থাৎ দুটির মধ্যে একটা ভগ্নাংশ হতেই হবে। এ যেন এক অনন্তকালের লুকোচুরি খেলা। কিন্তু কেন এমন হয়?

ল্যাম্বার্ট সাহেবের ঐতিহাসিক প্রমাণ

হাজার হাজার বছর ধরে মানুষ জানত, পাইয়ের মান ৩.১৪-এর কাছাকাছি। কিন্তু কেউ শক্ত প্রমাণ দিয়ে বলতে পারছিলেন না, একে কখনোই ভগ্নাংশ আকারে লেখা যাবে না। অবশেষে ১৭৬১ সালে জোহান ল্যাম্বার্ট নামে এক সুইস গণিতবিদ ভাবলেন, ‘অনেক তো হলো! এবার এই পাইয়ের একটা হেস্তনেস্ত করতেই হবে।’

ল্যাম্বার্ট সাহেব একটা দারুণ বুদ্ধি আঁটলেন। তিনি গণিতের নিয়মে একটা সমীকরণ তৈরি করলেন। এই মেশিনের নিয়মটা বেশ অদ্ভুত। শূন্য ছাড়া কোনো মূলদ সংখ্যা এর ভেতরে ঢোকালে, মেশিন থেকে যে সংখ্যা বের হবে, সেটি মূলদ হতে পারবে না—সেটি অমূলদই হবে।

ল্যাম্বার্ট এবার এই অদ্ভুত মেশিনের সঙ্গে পাইয়ের একটা সম্পর্ক খুঁজে পেলেন। তিনি দেখালেন, যদি পাইকে ৪ দিয়ে ভাগ করা একটি সংখ্যা মূলদ হয়, তাহলে সেই সংখ্যা এই মেশিনে ঢোকালে উত্তর আসবে ১। কিন্তু মেশিনের নিয়ম বলছে, উত্তরটা অমূলদ হওয়ার কথা! অথচ ১ তো খুবই পরিচিত একটি মূলদ সংখ্যা।

ব্যস, এখানেই ধরা পড়ে গেল গন্ডগোলটা। শুরুতে যে সংখ্যাটিকে মূলদ বলে ধরে নেওয়া হয়েছিল, সেটিই আসলে মূলদ হতে পারে না। অর্থাৎ পাইকে ৪ দিয়ে ভাগ করলেও তা অমূলদ। আর কোনো মূলদ সংখ্যা দিয়ে ৪-কে ভাগ করলে যদি ফল অমূলদ হয়, তাহলে পাই নিজেও অমূলদ।

এভাবেই ল্যাম্বার্ট প্রমাণ করে দিলেন, পাইকে কোনো সাধারণ ভগ্নাংশ হিসেবে লেখা সম্ভব নয়।

হাজারো রাবারের হাঁস নদীতে কেন

অমূলদ মানেই কি এলোমেলো সংখ্যা?

ইংরেজিতে অমূলদ সংখ্যাকে বলে ইর্যাশনাল নাম্বার। ইর্যাশনাল মানে যুক্তিবিরোধী বা যার মাথার ঠিক নেই। তাহলে পাই কি একটা পাগল সংখ্যা? এর কি কোনো নির্দিষ্ট মান নেই?

একদম তা নয়! পাই মোটেও এলোমেলো কোনো সংখ্যা নয়। মহাবিশ্বের যেখানেই যাও না কেন, বৃত্তের পরিধি আর ব্যাসের ভাগফল সব সময় ঠিক ওই একটাই সংখ্যা-৩.১৪১৫৯২৬৫...। তুমি তোমার খাতার ছোট বৃত্ত আঁকো, চাঁদের পরিধি মাপো, কিংবা বিশাল কোনো গ্যালাক্সির আকার মাপো; পাইয়ের মান একচুলও নড়বে না। সে তার জায়গায় পাথরের মতো স্থির। শুধু সমস্যা হলো, আমরা মানুষেরা আমাদের যে স্কেল (০ থেকে ৯ পর্যন্ত) বানিয়েছি, সেই স্কেল দিয়ে পাই পুরোপুরি লিখে শেষ করতে পারি না। এটা আমাদের সংখ্যা পদ্ধতির সীমাবদ্ধতা, পাইয়ের কোনো পাগলামি নয়!

প্রকৃতি যেন তার পুরো নকশাটাই এই অমূলদ সংখ্যা দিয়ে সাজিয়েছে। নদীর এঁকেবেঁকে চলা পথের দৈর্ঘ্যের সঙ্গে পাইয়ের মিল পাওয়া যায়। এমনকি আলোর তরঙ্গ, শব্দের কম্পন, আমাদের শরীরের ডিএনএর গঠন—সবকিছুতেই এই অমূলদ সংখ্যাটি লুকিয়ে আছে।

বিজ্ঞানীরা আধুনিক সুপারকম্পিউটারের সাহায্যে পাইয়ের মান দশমিকের পর ৩১৪ ট্রিলিয়ন ঘর পর্যন্ত বের করে ফেলেছেন! এত ঘর পর্যন্ত হিসাব করেও কিন্তু দশমিকের পর সংখ্যাগুলোর কোনো শেষ পাওয়া যায়নি। বিজ্ঞানীরা মূলত এটা করেন কম্পিউটারের ফিটনেস টেস্ট করার জন্য। তারা দেখতে চান, তাদের বানানো যন্ত্র একটানা কতক্ষণ নির্ভুলভাবে হিসাব করতে পারে।

আচ্ছা বান্টি তো মহাকাশযানে আটকে আছে। ওর কথা তো ভুলেই গেছিলাম। চলো আবার বান্টির কাছে ফিরে যাই। সে হয়তো এখনো পাসওয়ার্ড লিখে যাচ্ছে। বেচারা যদি জানত, সারা জীবন সংখ্যা লিখেও ওই পাসওয়ার্ড সে ঠিকভাবে বসাতে পারবে না। কারণ, বিজ্ঞানীরা তো ইতিমধ্যে সুপারকম্পিউটার দিয়ে ৩১৪ ট্রিলিয়ন ঘর পর্যন্ত গিয়ে এর শেষ পায়নি। তাহলে বান্টি আর কত লিখবে?

বান্টিও ততক্ষণে বুঝে গেছে, এলিয়েনরা আসলে তার সঙ্গে একটা চালাকি করেছে। এমন একটা পাসওয়ার্ড দিয়েছে, যার কোনো শেষ নেই। এভাবে একটার পর একটা সংখ্যা টাইপ করতে থাকলে সে বুড়ো হয়ে যাবে, কিন্তু দরজা খুলবে না!

বান্টির মাথায় একটা দারুণ বুদ্ধি এল। সে ম্যানুয়ালি সংখ্যা টাইপ করা বাদ দিয়ে এলিয়েনদের স্পেসশিপের মেইন কম্পিউটারে একটা কমান্ড লিখে এন্টার চেপে দিল। কমান্ডটা অনেকটা এ রকম:

‘যতক্ষণ পাইয়ের একদম শেষ নিখুঁত মানটা বের হচ্ছে, ততক্ষণ হিসাব করতে থাকো এবং মানটা বের হলেই দরজা খুলবে!’

নির্দেশ পেয়ে এলিয়েনদের সুপারকম্পিউটার হিসাব করা শুরু করল। ৩.১৪১৫৯... থেকে শুরু করে ১০ হাজার ঘর, ১ লাখ ঘর, ১ কোটি ঘর... কম্পিউটার হিসাব করেই চলেছে। কিন্তু পাই তো অমূলদ সংখ্যা, এর তো কোনো শেষ নেই! অসীম এই সংখ্যার হিসাব করতে করতে এলিয়েনদের কম্পিউটারের প্রসেসর গরম হতে শুরু করল। অতিরিক্ত চাপে স্পেসশিপের সিকিউরিটি সিস্টেম ক্র্যাশ করল। স্বয়ংক্রিয়ভাবে হিসসস শব্দ করে স্পেসশিপের মূল দরজা গেল খুলে!

বান্টি এক লাফে স্পেসশিপ থেকে বেরিয়ে সেই সুন্দর বেগুনি রঙের গাছগুলোর বনের ভেতর দৌড় দিল। যাওয়ার আগে সে একটা জিনিস খুব ভালোমতো শিখে গেল—এই মহাবিশ্বের সবকিছুকে আমাদের বানানো ছোট ছোট বাক্সে বন্দী করা সম্ভব নয়। কিছু রহস্য সব সময় পাইয়ের মতোই অসীম হয়েই থাকে!

পিঁপড়ার পথ খোঁজার কৌশল গবেষণা করে বের করেছে ১৩ বছরের শিক্ষার্থী

Read full story at source